مكونات التفكير الرياضي

أكدت العديد من الدراسات والبحوث التي اهتمت بتدريس الرياضيات أن التفكير الرياضي يتضمن عدداً من المكونات أو المظاهر يمكن عرضها فيما يلي:

1- التعميم Generalization :

يُعد التعميم عملية تجريد حيث يتم الانتقال بالفكر من المثال المحسوس أو الواقع إلى القاعدة أو النظرية، ويتم الوصول للقاعدة العامة قياساً على الأمثلة المقدمة أو المعطاة. (زكريا جابر حناوي، 2008 : 88)

ويشير فريد أبو زينة (1994: 209) إلى أن التعميم الرياضي هو عبارة عن جملة رياضية (جملة خبرية) تنطبق على مجموعة من الأشياء. أو جملة (عبارة) تربط بين مفهومين أو أكثر من المفاهيم الرياضية بعلاقة صحيحة رياضياً.

ويرى علاء الدين سعد متولي (1999: 28) أن التعميم يقصد به صياغة عبارة مكتوبة بالصورة العامة، وذلك بملاحظة بعض الحالات الخاصة، أو استخلاص قاعدة عامة (حكم عام – صفة عامة) من مجموعة من الشواهد الجزئية وتطبيقها على حالات أخرى جديدة لم ترد بين الشواهد السابقة.

كمثال لذلك: يمكن أن يتوصل التلميذ في بداية تعلمه لدروس الجبر بالمرحلة الإعدادية إلى صياغة التعميم التالي: "حاصل ضرب عدد سالب في عدد سالب يساوي عدد موجب" وذلك من خلال ملاحظة نواتج الضرب التالية:

-4×-5=+20 ، -4×-6=+24، -7×-10 = +70

ويوضح فريد أبو زينة (1985: 171) أن عدد الأمثلة اللازمة لتكوين تعميم رياضي معين يتراوح ما بين 3 إلى 6 أمثلة. وهذا بالطبع يختلف من شخص إلى آخر حسب عوامل متعددة منها العمر الزمني ومستوى الذكاء وطبيعة التعميم نفسه.

وهذا يتطلب زيادة عدد الأمثلة التي تقدم للتلاميذ بطيئي التعلم عند تدريسهم على تعميم رياضي جديد نرغب في أن يتوصلوا إليه، أو يكتشفوه بأنفسهم. وذلك نظراً لمستوى ذكائهم وقدرتهم الرياضية المحدودة.

2- الاستقراء Induction :

يقصد بالاستقراء الوصول إلى نتيجة ما من بعض المشاهدات أو الملاحظات أو الأمثلة الخاصة.

ويُعد الاستقراء عملية يتم عن طريقها الوصول إلى قاعدة عامة (نتيجة – نظرية – قانون) من خلال دراسة عدد كاف من الحالات الفردية واستخراج الخاصية التي تشترك فيها هذه الحالات. (محمد محمود حمادة، 2005: 254)

أي أن الاستقراء يسير من الخاص إلى العام ومن الملموس إلى المجرد ومن الأمثلة والحالات الخاصة إلى القاعدة العامة. وعن طريق الاستقراء يكتشف التلميذ القاعدة العامة من خلال استعراض حالات خاصة متعددة.

ويختلف الاستقراء عن التعميم، ففي حين أن الاستقراء يتضمن اكتشاف حالة مشابهة لحالات بينها علاقة متكررة وثابتة، نجد أن التعميم هو تسجيل الحالة بصورة عامة والوصول إلى القاعدة العامة التي تصف الحالة المكتشفة. فهما مختلفان ولكن العلاقة بينهما علاقة تكامل قوية. (إبراهيم عبد الكريم المشهراوي، 1999: 88)

ويؤكد علاء الدين سعد متولي (1999: 29) على أن الفارق الوحيد بين التعميم والاستقراء يتمثل في الصياغة اللغوية للنتيجة في حالة التعميم، بينما في حالة الاستقراء فنكتفي بوضع النتيجة التي قد تكون عدداً أو مقداراً جبرياً أو صورة رمزية أو ما شابه ذلك.

ومن هنا يمكن القول بأن الاستقراء هو عبارة عن التوصل إلى القاعدة ومعرفتها واكتشافها، ويظهر هذا الاكتشاف واضحاً في إكمال الأنماط، أو التسلسلات العددية أو الرسوم الهندسية. أما صياغة القاعدة لفظياً وتطبيقها على حالات خاصة فذلك هو التعميم.

ومن أمثلة الاستقراء ما يلي:

-     يتوصل التلميذ إلى تحليل المقدار (س^ن-1) وذلك بملاحظة تحليل بعض المقادير المألوفة مثل (س^2-1) أو (س^3-1) أو (س^4-1).

-       يتوصل التلميذ إلى معرفة الحد الخامس في متسلسلة عرفت حدودها الثلاثة الأولى.

-   يتوصل التلميذ من خلال دراسة حالات فردية للمثلث عن طريق القياس باستخدام الأدوات الهندسية إلى أن "مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث = 180º".

ويرى الباحث في ضوء ما سبق أن تدريب التلاميذ  على عملية الاستقراء يجب إتباع الإجراءات التالية:

-             اختيار عدد من الحالات الفردية في موقف معين والتي تجمع بينها خاصية مشتركة.

-     دراسة تلك الحالات الفردية بهدف الوصول إلى الخاصية المشتركة بينها وصياغتها على صورة قاعدة عامة، وذلك عن طريق تجريد تلك الخاصة من الحالات الفردية.

-     تطبيق القاعدة العامة التي تم الوصول إليها على أمثلة جديدة غير تلك التي تم استنتاج القاعدة منها، وذلك بهدف التأكيد على صحة هذه القاعدة وانطباقها على أمثلة أخرى.

تعريف التفكير الرياضي

يُعد التفكير الرياضي أحد الصور المتعددة للتفكير ولعله أهم صور التفكير نظراً لأنه من خلاله يستطيع المتعلم حل المشكلات الرياضية وذلك باستخدام أساليب الاستدلال والتأمل والبرهان الرياضي وإدراك العلاقات بين المتغيرات في المشكلة، ويمكن تناول التفكير الرياضي من خلال النقاط التالية:

أ- تعريف التفكير الرياضي:

هناك العديد من التعريفات للتفكير الرياضي كل منها يعكس رؤية معينة وفق المجال أو التخصص الذي يُدرس. ومن بين هذه التعريفات ما يلي:

يعرف (1983:59) Herbert التفكير الرياضي بأنه نوع من النشاط العقلي Intellectual Activity يعتمد على التأمل في الوصول إلى المفاهيم المجردة وتوظيفها في عمليات التفكير.

وتعرف نظله حسن خضر (1984: 38 – 39) التفكير الرياضي بأنه أساليب التفكير المستخدمة في البرهنة وحل المشكلات وفي الاكتشاف الرياضي، ومن هذه الأساليب: التفكير الاستدلالي، والتفكير الاستقرائي، والتفكير الحدسي، والتفكير الخلاق.

بينما يرى فؤاد أبو حطب (1990: 398) أن التفكير الرياضي يتحدد من خلال العمليات الآتية:

-             التبويب Classes: أي التصنيف أو التقسيم إلى مجموعات ذات خصائص مشتركة.

-             الترتيب Order: أي إيجاد النظام السائد في هذه المجموعات وذلك بوصف محتواها.

-             التطابق Correspondence: أي اكتشاف العلاقات المتطابقة بين وحدات المجموعات المختلفة.

 

ويعرف عبد المجيد عبد العزيز عبد المجيد (1998: 22) التفكير الرياضي بأنه نشاط عقلي خاص بالرياضيات يُبنى على مجموعة من العمليات العقلية الخاصة بالتفكير الاستدلالي والتفكير الرمزي والتفكير التأملي والبرهان الرياضي.

بينما يعرف حسين غريب حسين (1998: 6) التفكير الرياضي بأنه التفكير المصاحب للفرد في مواجهة المشكلات والمسائل الرياضية أثناء محاولة حلها، والذي تحدده عدة اعتبارات تتعلق بالعمليات العقلية التي تتكون منها عملية الحل.

ويعرف محمود محمد حسن (2001: 398) التفكير الرياضي بأنه شكل من أشكال التفكير أو نشاط عقلي مرن ومنظم يهدف إلى حل المشكلات الرياضية باستخدام بعض أوكل مظاهر (أشكال أو مكونات) التفكير التالية: التعميم، الاستقراء أو الاستنتاج، التعبير بالرموز، البرهان الرياضي.

كما تعرفه فاطمة عبد السلام أبو الحديد (2003: 120) بأنه مجموعة من الأنشطة العقلية المنظمة التي يمارسها التلميذ أثناء حل المسائل والمشكلات الرياضية مستخدماً في ذلك عمليات التفكير الاستقرائي، والتفكير الاستنباطي، والتفكير الاستدلالي، والتفكير المنظومي، والقدرة على إدراك العلاقات والتعبير بالرموز.

ويعرف أحمد خليفة عبد السميع (2006: 220) التفكير الرياضي بأنه نشاط ذهني يقوم به المتعلم بهدف إدراك المفاهيم والتعميمات الرياضية والتعبير عنها لفظاً ورمزاً وشكلاً، وفي اكتساب المهارات وحل المشكلات الرياضية.

ويعرف فريد أبو زينة وعبد الله عبابنة (2007: 274) التفكير الرياضي بأنه عملية بحث عن معنى في موقف أو خبرة ذات علاقة بسياق رياضي، حيث يتمثل الموقف في أعداد أو رموز أو أشكال أو مفاهيم رياضية.

وبناءً على التعريفات السابقة يعرف الباحث الحالي التفكير الرياضي بأنه نشاط عقلي مرن ومنظم يهدف إلى حل المشكلات الرياضية باستخدام بعض أو كل صور التفكير التالية: الاستقراء، والاستنباط، والتعبير بالرموز، وإدراك العلاقات، والبرهان الرياضي حسب طبيعة كل مشكلة.